题目内容
设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-| 1 |
| (1+b)n |
（1）求an和an-1的关系式；
（2）写出用n和b表示an的表达式；
（3）当0＜b＜1时，求极限
| lim |
| n→∞ |
分析：（1）由Sn和an的关系式an=
，求出数列的递推公式．
（2）把（1）的结果逐层代入观察其特点，归纳推理出an的式子．
（3）根据题意把an代入所给的式子进行整理，利用b的范围求出极限．
|
（2）把（1）的结果逐层代入观察其特点，归纳推理出an的式子．
（3）根据题意把an代入所给的式子进行整理，利用b的范围求出极限．
解答：解：（1）an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-
+
=-b(an-an-1)+
(n≥2)
解得an=
an-1+
(n≥2)…①
（2）∵a1=S1=-ba1+1-
，
∴a1=
．…②
由①得
an=
[
an-2+
]+
=(
)2an-2+
=(
)2[
an-3+
]+
=(
)3an-3+
由此推得an=(
)n-1a1+
…③
将②代入③得an=
∴an=
（3）Sn=
•(
)n+1+1-(
)n，(b≠1)
∵0＜b＜1时，
bn=0，
(
)n=0
∴当0＜b＜1时，
Sn=1．
| 1 |
| (1+b)n |
| 1 |
| (1+b)n-1 |
=-b(an-an-1)+
| b |
| (1+b)n |
解得an=
| b |
| 1+b |
| b |
| (1+b)n+1 |
（2）∵a1=S1=-ba1+1-
| 1 |
| 1+b |
∴a1=
| b |
| (1+b)2 |
由①得
an=
| b |
| 1+b |
| b |
| 1+b |
| b |
| (1+b)n |
| b |
| (1+b)n+1 |
=(
| b |
| 1+b |
| b+b2 |
| (1+b)n+1 |
=(
| b |
| 1+b |
| b |
| 1+b |
| b |
| (1+b)n-1 |
| b+b2 |
| (1+b)n+1 |
=(
| b |
| 1+b |
| b+b2+b3 |
| (1+b)n+1 |
由此推得an=(
| b |
| 1+b |
| b+b2++bn-1 |
| (1+b)n+1 |
将②代入③得an=
| b+b2++bn |
| (1+b)n+1 |
∴an=
|
（3）Sn=
| (-b)(b-bn+1) |
| 1-b |
| 1 |
| 1+b |
| 1 |
| 1+b |
∵0＜b＜1时，
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| 1+b |
∴当0＜b＜1时，
| lim |
| n→∞ |
点评：本题利用an=
，求出数列的递推公式；再求通项公式时利用了归纳推理写出即可，题中没要求证明这就降低难度，第三小题利用前两题中的结果及b的范围求出．
|
练习册系列答案
相关题目
。