题目内容
【题目】已知公差大于零的等差数列的前
项和为
,且
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列是等差数列,且
,求非零常数
的值.
(3)设,
为数列
的前
项和,是否存在正整数
,使得
对任意的
均成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)因为数列为等差数列,
,所以
,
又,所以
,
是方程
的两个根,(2分)
由解得
,
,
设等差数列的公差为
,由题意可得
,所以
,
所以,
,所以
,解得
,(3分)
所以,故数列
的通项公式为
.(4分)
(2)由(1)知,,所以
,
所以,
,
,(5分)
因为数列是等差数列,所以
,即
,
即,解得
(
舍去),(7分)
当时,
,易知数列
是等差数列,满足题意.
故非零常数的值为
.(8分)
(3)由题可得,(10分)
利用裂项相消法可得,故
,(11分)
所以存在正整数,使得
对任意的
均成立,
所以的最小值为
.(12分)
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