题目内容

下列命题：
①已知函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线 $数学公式$ 对称，则a的值为 $数学公式$ ；
②函数 $数学公式$ 的单调增区间是 $数学公式$ ；
③设p=sin15°+cos15°，q=sin16°+cos16°，r=p•q，则p、q、r的大小关系是p＜q＜r；
④要得到函数y=cos2x-sin2x的图象，需将函数 $数学公式$ 的图象向左平移 $数学公式$ 个单位；
⑤函数 $数学公式$ 是偶函数且在 $数学公式$ 上是减函数的θ的一个可能值是 $数学公式$ ．其中正确命题的个数是

A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

D
分析：根据正弦函数图象对称性的公式，可得①正确；根据复合函数的单调性，结合正弦函数的单调区间可得②不正确；用辅助角公式进行合并，再比较大小，可得③正确；用辅助角公式进行合并，再结合函数图象平移的公式，可得④正确；根据y=Asin（ωx+φ）的奇偶性和单调性，可得⑤正确．
解答：对于①，若函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则f（ $\text{[math]}$ ）=± $\text{[math]}$ ，
即sin（ $\text{[math]}$ ）+acos（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，解之得a= $\text{[math]}$ ，故①正确；
对于②，因为 $\text{[math]}$ ＞0，所以函数的定义域为：{x|kπ- $\text{[math]}$ ＜x＜kπ+ $\text{[math]}$ }，
函数的增区间是 $\text{[math]}$ ，故②不正确；
对于③，∵p=sin15°+cos15°= $\text{[math]}$ sin60°= $\text{[math]}$ ，q=sin16°+cos16°= $\text{[math]}$ sin61° $\text{[math]}$ ，
∴p＜q，而且r=p•q＞p，r=p•q＞p，所以p＜q＜r，故③正确；
对于④，将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位得到 $\text{[math]}$ 的图象；
而函数y=cos2x-sin2x= $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ），所以④正确；
对于⑤，当θ= $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ =2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=2cos2x，
恰好在在 $\text{[math]}$ 上是减函数且为偶函数，故⑤正确．
所以正确的是①③④⑤，共4个
故选D
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、正弦函数的奇偶性、奇偶性和图象的对称性等知识，属于中档题．