Question

6．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax-{b}^{2}}{x+a}$（x∈[0，+∞）），其中a＞0，b∈R，记M（a，b）为f（x）的最小值．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求a的取值范围，使得存在b，满足M（a，b）=-1．

Answer 1

分析 （1）令x+a=t（t≥a），即有y=$\frac{（t-a）^{2}-a（t-a）-{b}^{2}}{t}$=t+$\frac{2{a}^{2}-{b}^{2}}{t}$-3a，讨论当2a²-b²≤0，当2a²-b²＞0，讨论a²≥b²，以及a²＜b²，运用函数的单调性即可得到；
（2）由（1）的结论，求得最小值，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）令x+a=t（t≥a），即有y=$\frac{（t-a）^{2}-a（t-a）-{b}^{2}}{t}$=t+$\frac{2{a}^{2}-{b}^{2}}{t}$-3a，
当2a²-b²≤0，函数y在[a，+∞）递增；当2a²-b²＞0，由y′=1-$\frac{2{a}^{2}-{b}^{2}}{{t}^{2}}$=0，解得t=$\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}$．
当a≤$\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}$，即a²≥b²，函数在[$\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}$，+∞）递增；
当a＞$\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}$，即a²＜b²，函数在[a，+∞）递增．
综上可得，当2a²≤b²，f（x）的递增区间为（0，+∞）；
当a²≥b²，f（x）的递增区间为[$\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}$-a，+∞）；
当a²＜b²，函数的递增区间为（0，+∞）；
（2）由（1）可得当2a²-b²≤0，函数y在[0，+∞）递增，
可得M（a，b）=-$\frac{{b}^{2}}{a}$=-1，即a=b²，
由2a²-b²≤0，可得0＜a≤$\frac{1}{2}$；
当a≤$\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}$，即a²≥b²，函数在[0，$\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}$-a）递减，
[$\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}$-a，+∞）递增，可得最小值为2$\sqrt{2{a}^{2}-{b}^{2}}$-3a=-1，
可得4b²=-a²+6a-1＞0，代入a²≥b²，解得1≤a＜3+2$\sqrt{2}$；
当a²＜b²＜2a²，函数的递增区间为[0，+∞），即有最小值为-$\frac{{b}^{2}}{a}$=-1，即a=b²，
解得0.5＜a＜1．
综上可得a的范围是0.5＜a＜1或1≤a＜3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，注意运用函数的单调性和分类讨论的思想方法，考查函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．