Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）当a=$\frac{1}{4}$时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=a在[2，3]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的解析式和导数，判断单调性，即可得到最小值；
（2）由题意可得x²+2x+a＞0，即-a＜x²+2x的最小值，运用二次函数的最值求法，即可得到最小值，进而得到a的范围；
（3）由题意可得a=$\frac{{x}^{2}+2x}{x-1}$=（x-1）+$\frac{3}{x-1}$+4，求得右边函数的单调性，可得最值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{4}$时，f（x）=x+$\frac{1}{4x}$+2，x∈[1，+∞）时，f′（x）=1-$\frac{1}{4{x}^{2}}$＞0，
即有f（x）在[1，+∞）递增，则x=1时，取得最小值，且为$\frac{13}{4}$；
（2）对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，即为：
x²+2x+a＞0，即-a＜x²+2x的最小值，由y=x²+2x在[1，+∞）递增，
可得最小值为3，则-a＜3，解得a＞-3；
（3）关于x的方程f（x）=a在[2，3]上有解，
即为a=$\frac{{x}^{2}+2x}{x-1}$=（x-1）+$\frac{3}{x-1}$+4，
由2≤x≤3，可得1≤x-1≤2，
可令t=x-1，t+$\frac{3}{t}$在（1，$\sqrt{3}$）递减，（$\sqrt{3}$，2）递增，
即有t=$\sqrt{3}$时，取得最小值2$\sqrt{3}$；t=1时，取得最大值4．
则4+2$\sqrt{3}$≤a≤8．
即有实数a的取值范围是[4+2$\sqrt{3}$，8]．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和函数的单调性，同时考查不等式恒成立和方程有解的条件，考查运算能力，属于中档题．