题目内容
已知多项式f(n)=
n5+
n4+
n3-
n.
(1)求f(-1)及f(2)的值;
(2)试探求对一切整数n,f(n)是否一定是整数?并证明你的结论.




(1)求f(-1)及f(2)的值;
(2)试探求对一切整数n,f(n)是否一定是整数?并证明你的结论.
(1)0,17(2)见解析
(1)f(-1)=0,f(2)=17
(2)先用数学归纳法证明,对一切正整数n,f(n)是整数.
①当n=1时,f(1)=1,结论成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N)时,结论成立,即f(k)=
k5+
k4+
k3-
k是整数,则当n=k+1时,f(k+1)=
(k+1)5+
(k+1)4+
(k+1)3-
(k+1)
=
+
+
-
(k+1)=f(k)+k4+4k3+6k2+4k+1.
根据假设f(k)是整数,而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数.
∴f(k+1)是整数,从而当n=k+1时,结论也成立.
由①、②可知对一切正整数n,f(n)是整数.
(Ⅰ)当n=0时,f(0)=0是整数
(Ⅱ)当n为负整数时,令n=-m,则m是正整数,由(Ⅰ)知f(m)是整数,
所以f(n)=f(-m)=
(-m)5+
(-m)4+
(-m)3-
(-m)
=-
m5+
m4-
m3+
m=-f(m)+m4是整数.
综上,对一切整数n,f(n)一定是整数.
(2)先用数学归纳法证明,对一切正整数n,f(n)是整数.
①当n=1时,f(1)=1,结论成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N)时,结论成立,即f(k)=








=


+


根据假设f(k)是整数,而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数.
∴f(k+1)是整数,从而当n=k+1时,结论也成立.
由①、②可知对一切正整数n,f(n)是整数.
(Ⅰ)当n=0时,f(0)=0是整数
(Ⅱ)当n为负整数时,令n=-m,则m是正整数,由(Ⅰ)知f(m)是整数,
所以f(n)=f(-m)=




=-




综上,对一切整数n,f(n)一定是整数.

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