题目内容

18．梯形ABCD中，AB=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，点P为梯形所在平面内一点，满足：$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$，若△ABC的面积为1，则△PCD的面积为1．

分析 先根据向量的减法、加法运算将等式中的向量都用P为起点的向量来表示，然后化简已知，最终确定出P点的位置，再根据已知的三角形与所求的三角形底边、高之间的关系求出所求

解答 解：由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PC}$得：
$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$，所以P点是AC的中点．所以${h}_{△PCD}={\frac{1}{2}h}_{△ABC}$．
因为梯形ABCD中，AB=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，
所以${S}_{△PCD}=\frac{1}{2}CD×{h}_{△PCD}=\frac{1}{2}×2AB×\frac{1}{2}$×h△ABC=S△ABC=1．
故答案为1．

点评 本题考查了向量的运算及其几何意义，化归思想的应用以及三角形的面积公式．

练习册系列答案
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