Question

11．（1）当tanα=3，求cos²α-3sinαcosα的值；
（2）角α终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a＞0），角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sinα•cosα+sinβ•cosβ+tanα•tanβ的值．

Answer 1

分析 （1）由cos²α-3sinαcosα=$\frac{1+cos2α}{2}-\frac{3}{2}sin2α$，及万能公式$cos2α=\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$，$sin2α=\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$，能求出结果．
（2）由题意得，点P的坐标为（a，-2a），点Q的坐标为（2a，a）．由此利用三角函数定义能求出结果．

解答 解：（1）∵tanα=3，
∴cos²α-3sinαcosα=$\frac{1+cos2α}{2}-\frac{3}{2}sin2α$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}）$-$\frac{3}{2}（\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}）$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（\frac{1-9}{1+9}）-\frac{3}{2}（\frac{2×3}{1+9}）$
=-$\frac{4}{5}$．
（2）∵角α终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a＞0），角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称，
∴由题意得，点P的坐标为（a，-2a），点Q的坐标为（2a，a）．
sinα=$\frac{-2a}{\sqrt{{a}^{2}+（-2a）^{2}}}$=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+（-2a）^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，tanα=$\frac{-2a}{a}$=-2，
sinβ=$\frac{a}{\sqrt{（2a）^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosβ=$\frac{2a}{\sqrt{（2a）^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，tanβ=$\frac{a}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴ssinα•cosα+sinβ•cosβ+tanα•tanβ
=$-\frac{2}{\sqrt{5}}×\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{2}{\sqrt{5}}$+（-2）×$\frac{1}{2}$=-1．

点评 本题考查三角函数化简求值，是中档题，解题时要认真审题，注意万能公式和三角函数定义的合理运用．