题目内容

已知向量
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，设f(x)=
a
•
b
，x∈R．
（I ）化简函数f（x）的解析式并求其最小正周期；
（II）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
分析：（I）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算得出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（II）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域就确定出f（x）的最大值与最小值．
解答：解：（I）∵
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx-sinx，2cosx），
∴f（x）=
a
•
b
=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=
2
sin（2x+
π
4
），
∵ω=2，∴T=
2π
2
=π；
（II）∵x∈[0，
π
2
]，∴2x+
π
4
∈[
π
4
，
5π
4
]，
∴当2x+
π
4
=
5π
4
，即x=
π
2
时，f（x）min=-1；
当2x+
π
4
=
π
2
，即x=
π
8
时，f（x）max=
2
，
综上所述，当x=
π
2
时，f（x）min=-1；当x=
π
8
时，f（x）max=
2
．
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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