题目内容

函数y=
x2+2xx2+2x+2
的值域为
[-1，1）
[-1，1）
．
分析：由题意求得函数的定义域为R，然后换元，令t=x2+2x，求出t的范围，把原式分子分母同时除以t，然后借助于极限观点可求函数的值域．
解答：解：∵x2+2x+2＞0恒成立，所以原函数的定义域为R，
令t=x2+2x=（x+1）2-1≥-1，
当t=0时，y=0；
当t≠0时，y=
x2+2x
x2+2x+2
=
t
t+2
=
1
1+
2
t

若-1≤t＜0，则1+
2
t
≤-1，-1≤
1
1+
2
t
＜0
若t＞0，则1+
2
t
＞1，0＜
1
1+
2
t
＜1
综上，函数y=
x2+2x
x2+2x+2
的值域为[-1，1）．
故答案为[-1，1）．
点评：本题考查了函数的值域，考查了换元法，同时联系了区间取倒数时的极限思想，解答此题的关键是换元后注意变量t的范围，属易错题．
练习册系列答案
相关题目
把函数y=lnx-2的图象按向量
a
=(-1，2)平移得到函数y=f（x）的图象．
（I）若x＞0，试比较f(x)与
2x
x+2
的大小，并说明理由；
（II）若不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3．当x，b∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
下列命题：
（1）函数f(x)=
x2-2x
x-2
是奇函数；
（2）函数f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函数，若x1∈（a，b），x2∈（c，d），且x1＜x2则一定有f（x1）＜f（x2）．
（3）函数f（x）在R上为奇函数，且f(x)=
x
+1，x＞0，则当x＜0，f（x）=y=-
-x
-1；
（4）函数y=x+
1-2x
的值域为{y|y≤1}．
以上命题中所有正确的序号是
（3）
（3）
．
设函数f（x）=x2+ax+b，点（a，b）为函数y=
5-2x
x-2
的对称中心，设数列{an}，{bn}满足4an+1=f(an)+2an+2(n∈N*)，a1=6，且bn=
1
an+4
，{bn}的前n项和为Sn．
（1）求a，b的值；
（2）求证：Sn＜
1
6
；
（3）求证：an+2＞22n-1+2．
给出下列命题：
①函数y=
3-2x
x+1
的对称中心为（-1，-2）；
②函数y=21-x在定义域内递增；  
③函数y=log3(x+
1
x
-3)的值域为R；      
④函数f（x）满足f（x）f（x+2）=1，则f（2013）=f（1）；
⑤若x2-2mx+m2-1=0两根都大于-2，则m＞-1．
则上述命题正确的是
①③④⑤
①③④⑤
．
在研究“原函数图象与其反函数的图象的交点是否在直线y=x上”这个课题时，我们可以分三步进行研究：
①首先选取如下函数：y=2x+1，y=
2x
x+1
，y=-
x+1
；
②求出以上函数的图象与其反函数的图象的交点坐标：y=2x+1与其反函数y=
x-1
2
的图象的交点坐标为（-1，-1）；y=
2x
x+1
与其反函数y=
x
2-x
的图象的交点坐标为（0，0）、（1，1）；y=-
x+1
与其反函数y=x2-1（x≤0）的图象的交点坐标为（
1-
5
2
，
1-
5
2
），（-1，0），（0，-1）；
③观察分析上述结果，可得出研究结论为
 
．

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