Question

设函数f（x）=x²+ax+b，点（a，b）为函数y=

5-2x

x-2

的对称中心，设数列{a_n}，{b_n}满足4an+1=f(an)+2an+2(n∈N*)，a1=6，且bn=

1

an+4

，{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求a，b的值；
（2）求证：Sn＜

1

6

；
（3）求证：an+2＞22n-1+2．

Answer 1

分析：（1）由y=

5-2x

x-2

得y+2=

1

x-2

，结合反比例函数的性质及函数的图象的平移可求函数的对称中心，即可求解a，b
（2）由已知递推公式，代入可得bn=

1

an+4

=

an

4an+1

=

an2

4an+1an

=

4an+1-4an

4an+1an

=

1

an

-

1

an+1

，利用裂项可求s_n，结合数列单调性即可证明
（3）由4an+1=an2+4an⇒(an+2)2=4an+1+4＜4(an+1+2)，可得2log₂（a_n+2）＜2+log₂（a_n+1+2），由此递推即可证明

解答：（1）解：由y=

5-2x

x-2

得y+2=

1

x-2

，故其对称中心为（2，-2），
所以a=2，b=-2
（2）证明：由4an+1=f(an)+2an+2=an2+4an=an(an+4)
则bn=

1

an+4

=

an

4an+1

=

an2

4an+1an

=

4an+1-4an

4an+1an

=

1

an

-

1

an+1

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

）
=

1

a1

-

1

an+1

又4an+1=an2+4an，
则an2=4an+1-4an＞0
即an+1＞an(n∈N*)，
所以数列{a_n}为递增数列，故a_n+1＞a₁，
所以Sn＜

1

a1

=

1

6

．
（3）证明：由4an+1=an2+4an⇒(an+2)2=4an+1+4＜4(an+1+2)，
两边取2为底的对数，得2log₂（a_n+2）＜2+log₂（a_n+1+2）
即2[log₂（a_n+2）-2]＜log₂（a_n+1+2）-2
由此递推式得：log2(an+1+2)-2＞2[log2(an+2)-2]＞22[log2(an-1+2)-2]＞…＞2n[log2(a1+2)-2]=2n(log28-2)=2n
所以log2(an+2)-2＞2n-1，
则an+2＞22n-1+2(n∈N*)．

点评：本题以函数的对称中心的求解为载体，主要考查了函数的性质及函数的图象的平移，数列的递推公式的应用及数列求和方法的灵活应用，试题具有一定的综合性