题目内容
已知f(x)=(x-1)2,g(x)=10(x-1),数列{an}满足a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0,.
(Ⅰ)求证:数列{an-1}是等比数列;
(Ⅱ)当n取何值时,bn取最大值,并求出最大值;
(Ⅲ)若对任意m∈N*恒成立,求实数t的取值范围.
答案:
解析:
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解:(Ⅰ)∵(an+1-an)g(an)+f(an)=0,f(an)=(an-1)2,g(an)=10(an-1), ∴(an+1-an)10(an-1)+(an-1)2=0.即(an-1)(10an+1-9an-1)=0. 又a1=2,可知对任何n∈N*,an-1≠0,所以. 2分 ∵, ∴{an-1}是以a1-1=1为首项,公比为的等比数列. 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知an-1=(n∈N*). ∴. 5分 当n=7时,,; 当n<7时,,bn+1>bn; 当n>7时,,bn+1<bn. ∴当n=7或n=8时,取最大值,最大值为. 8分 (Ⅲ)由,得(*) 依题意(*)式对任意m∈N*恒成立, ①当t=0时,(*)式显然不成立,因此t=0不合题意. 9分 ②当t<0时,由,可知tm<0(m∈N*). 而当m是偶数时tm>0,因此t<0不合题意. 10分 ③当t>0时,由tm>0(m∈N*), ∴∴.(m∈N*) 11分 设 (m∈N*) ∵=, ∴h(1)>h(2)>…>h(m-1)>h(m)>…. ∴h(m)的最大值为. 所以实数的取值范围是. 13分 |
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