Question

已知f(x)＝x(x－a)(x－b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))．

(1)若a＝b＝1，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)的导函数满足：当|x|≤1时，有恒成立，求函数f(x)的解析表达式；

(3)若0＜a＜b，函数f(x)在x＝s和x＝t处取得极值，且a＋b＝，证明：与不可能垂直．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)，

　　令得，解得

　　故的增区间和

　　(Ⅱ)(x)＝

　　当x∈[－1，1]时，恒有|(x)|≤．　4分

　　故有≤(1)≤，≤(－1)≤，

　　及≤(0)≤，　5分

　　即　6分

　　①＋②，得≤≤，　8分

　　又由③，得＝，将上式代回①和②，得

　　故．　9分

　　(Ⅲ)假设⊥，

　　即＝　10分

　　故(s－a)(s－b)(t－a)(t－b)＝－1

　　[st－(s＋t)a＋a²][st－(s＋t)b＋b²]＝－1，　11分

　　由s，t为(x)＝0的两根可得，s＋t＝(a＋b)，st＝，(0＜a＜b)

　　从而有ab(a－b)²＝9．　12分

　　这样

　　即≥2，这与＜2矛盾．　13分

　　故与不可能垂直．　14分