题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
且满足
,数列
中,
对任意正整数
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在实数,使得数列
是等比数列?若存在,请求出实数
及公比
的值,若不存在,请说明理由;
(3)求证:.
【答案】(1) (2)
(3)见解析
【解析】试题分析:
(1)由通项公式与前n项和的关系可得数列的通项公式为
;
(2)假设存在满足题意的实数 ,利用等比数列的定义得到关于
的方程,解方程可得
;
(3)求得数列的前n项和,分类讨论n的奇偶性即可证得题中不等式的结论.
试题解析:
(1)当时,
,
当时,
,
即,
也适合,所以
.
(2)法一:
假设存在实数,使数列
是等比数列,且公比为.
因为对任意正整数,
,
可令n=2,3,得 .
因为是等比数列,所以
, 解得
从而 (
)
所以存在实数,公比为
.
法二:
因为对任意整数,
, 所以
,
设 ,则
,
所以存在,且公比
.
(3)因为,所以
,
所以,即
,
于是
当是奇数时: ,关于递增,
得 .
当是偶数时: ,关于递增,
得 .
综上, .
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