Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且a_n+1+$\frac{2}{3}$S_n=1．
（1）求a_n；
（2）令b_n=n+a_n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1+$\frac{2}{3}$S_n=1与a_n+2+$\frac{2}{3}$S_n+1=1作差，整理可得a_n+2=$\frac{1}{3}$a_n+1，进而可得结论；
（2）通过a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$可知b_n=n+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，分别求出等差数列、等比数列的和相加即可．

解答 解：（1）∵a_n+1+$\frac{2}{3}$S_n=1，
∴a_n+2+$\frac{2}{3}$S_n+1=1，
两式相减得：a_n+2-a_n+1+$\frac{2}{3}$a_n+1=0，
整理得：a_n+2=$\frac{1}{3}$a_n+1，
又∵a₁=1，
∴a₂=1-$\frac{2}{3}$S₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$1•\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$；
（2）∵a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴b_n=n+a_n=n+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$+$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项即前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．