题目内容

已知圆C1的方程为x2+(y-2)2=1,定直线l的方程为y=-1.动圆C与圆C1外切,且与直线l相切.
(Ⅰ)求动圆圆心C的轨迹M的方程;
( II)直线l′与轨迹M相切于第一象限的点P,过点P作直线l'的垂线恰好经过点A(0,6),并交轨迹M于异于点P的点Q,记S为△POQ(O为坐标原点)的面积,求S的值.
【答案】分析:(Ⅰ)设动圆圆心C的坐标为(x,y),动圆半径为R,利用动圆C与圆C1外切,且与直线l相切,可建立方程,化简,即可得到动圆圆心C的轨迹M的方程;
( II)确定点P坐标,直线PQ的方程与抛物线方程联立,求得点Q的坐标,从而可求S的值.
解答:解:(Ⅰ)设动圆圆心C的坐标为(x,y),动圆半径为R,
,且|y+1|=R…(2分)
可得 …(3分)
由于圆C1在直线l的上方,所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方,所以有y+1>0,
,整理得x2=8y,即为动圆圆心C的轨迹M的方程…(5分)
( II)如图示,设点P的坐标为,则=,…(6分)
kPQ=,所以直线PQ的方程为…(8分)


∵点P在第一象限,∴x=4,--(9分)
点P坐标为(4,2),直线PQ的方程为y=-x+6.--------------(10分)
联立得x2+8x-48=0,解得x=-12或4,
∴点Q的坐标为(-12,18).
所以---------(12分)
点评:本题考查轨迹方程,考查曲线的切线,考查三角形的面积,考查直线与抛物线的位置关系,确定P、Q的坐标是关键.
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