Question

如图，已知圆C₁的方程为(x-2)2+(y-1)2=

20

3

，椭圆C₂的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），C₂的离心率为

2

2

，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程．

Answer 1

分析：由e=

2

2

得，b²=c²，设椭圆方程为：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得圆心C₁（2，1）为AB中点，A，B均在椭圆C₂上，

x12

2b2

+

y12

b2

=1，

x22

2b2

+

y22

b2

=1，两式相减得：

4(x1-x2)

2b2

+

2(y1-y2)

b2

=0，kAB=

y1-y2

x1-x2

=-1，再由根的判别式结合题设条件可求出直线AB的方程和椭圆C₂的方程．

解答：由e=

2

2

得

c

a

=

2

2

，
∴a²=2c²，b²=c²，
设椭圆方程为：

x2

2b2

+

y2

b2

=1（2分）
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得圆心C₁（2，1）为AB中点，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
又A，B均在椭圆C₂上，
∴

x12

2b2

+

y12

b2

=1，

x22

2b2

+

y22

b2

=1，
两式相减得：

(x1+x2)(x1-x2)

2b2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0
即

4(x1-x2)

2b2

+

2(y1-y2)

b2

=0
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=-1，
即直线AB的方程为y-1=-（x-2）即x+y-3=0（6分）
将y=-x+3代入

x2

2b2

+

y2

b2

=1得3x²-12x+18-2b²=0（9分）
∴x1+x2=4，x1x2=

18-2b2

3

由直线AB与椭圆C₂相交，
∴△=12²-12（18-2b²）=24b²-72＞0即b²＞3，
又|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=2•

20 3

（11分）
即16-4•

18-2b2

3

=

40

3

解得b²=8，故所求的椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1（13分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，合理解答，注意公式的合理运用．