Question

已知圆C₁的方程为(x+1)²+y²=16，圆C₂的方程为（x-1）²+y²=4，动圆P经过圆C₂的圆心且与圆C₁相内切.

（1）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；

（2）设M、N是（1）中的轨迹C上的两点，若+2=3，其中O是坐标原点，求直线MN的方程.

Answer 1

解：（1）根据已知，动圆P的半径小于⊙C₁的半径，∴|PC₁|+|PC₂|=4＞|C₁C₂|.?

由椭圆的定义知点P的轨迹C是以C₁（-1，0）、C₂（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆.

?

∴P的轨迹C的方程为=1.                                                                        ?

（2）设M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂),?

∵M、N是C上两点，?

∴3x₁²+4y₁²=12,                                                                                         ①?

3x₂²+4y₂²=12.                                                                                            ②?

又+2=3，∴x₁+2x₂=-3,                                                          ③?

y₁+2y₂=0.                                                                                                   ④　?

由①②③④，得x₂=-,y₂=±.?

∴直线MN的斜率k===-y₂.                                                         ?

当y₂=时，k=-,直线MN的方程为y=-(x+1);?

当y₂=-时，k=,直线MN的方程为y=(x+1),

∴直线MN的方程y=±(x+1).