Question

14．已知等差数列{a_n}和公比大于1的等比数列{b_n}满足a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₅=b₃．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_nb_n}的前n项和为_Sn，且对任意n∈N^*均有λ[a_n+1b_n+1-2（S_n-1）]＞n²+n成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组，即可求出向量的通项；
（2）利用错位相减法，即可求数列{a_nb_n}的前n项和为S_n，通过计算、变形可得问题即求函数y=f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{{3}^{x+1}}$当x取正整数时的最大值，计算即可．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比q＞1，
∵a₁=b₁=1，
∴a₂=1+d，b₂=q，a₅=1+4d，b₃=q²，
∴（1+d）²=1•（1+4d），且1+d=q，
解得d=2，∴q=3，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（2）由（1）知，S_n=1×1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1 ①
∴3S_n=1×3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ ②
①-②：-2S_n=1+2×（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ ，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ+1，
∴S_n-1=（n-1）•3ⁿ．
又∵a_n+1b_n+1=（2n+1）•3ⁿ，
∴a_n+1b_n+1-2（S_n-1）=3ⁿ⁺¹，
∴λ[a_n+1b_n+1-2（S_n-1）]＞n²+n等价于λ＞$\frac{{n}^{2}+n}{{3}^{n+1}}$，
记y=f（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{{3}^{x+1}}$，当x＞0时其图象如图，
∵f（1）=f（2）=$\frac{2}{9}$，
∴λ≥$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的基本关系式，考查错位相减法的应用，考查计算能力，属于中档题．