题目内容
已知直线l：（a-2）y=（3a-1）x-1
（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．
（2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．
（2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
分析：（1）直线l方程可整理为：a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；
（2）由题意可得a的范围，分别令x=0，y=0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．
（2）由题意可得a的范围，分别令x=0，y=0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．
解答：解：（1）直线l方程可整理为：a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，
联立
，可解得
，
∴直线恒过定点(
，
)
（2）由题意可知直线的斜率k=
＜0，
∴a∈(
，2)，令y=0可得x=
，令x=0可得y=
．
∴S△=
|
|•|
|=
|
|=
|
|
由二次函数的知识可知，当a=
时，三角形面积最小，
此时l的方程为：5y+15x-6=0
联立
|
|
∴直线恒过定点(
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（2）由题意可知直线的斜率k=
| 3a-1 |
| a-2 |
∴a∈(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3a-1 |
| -1 |
| a-2 |
∴S△=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3a-1 |
| -1 |
| a-2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| (3a-1)(a-2) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3a2-7a+2 |
由二次函数的知识可知，当a=
| 7 |
| 6 |
此时l的方程为：5y+15x-6=0
点评：本题考查直线过定点问题，涉及函数最值的求解，属中档题．
练习册系列答案
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,
).在直角坐标系中给定两点 M(－2,3)、N(1，
－1),问l与线段MN是否有交点？若有交点,请说明理由.