Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），

F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；

(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；

解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.

（1）设椭圆C的焦距为2c.

因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.

又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，

因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，椭圆C的标准方程为.

（2）解法一：

由（1）知，椭圆C：，a=2，

因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.

将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.

因为点A在x轴上方，所以A(1，4).

又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.

由，得，

解得或.

将代入，得，

因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.

由，得，解得或.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.

将代入，得.因此.

解法二：

由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.

因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，

从而∠BF1E=∠B.

因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，

所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.

因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.

因为F1(-1，0)，由，得.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.

因此.