题目内容
已知点O为△ABC内一点，满足；
+
+
=
，|
|=|
|=|
|=
，又
=2
，则
•
=
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
| OA |
| OB |
| OC |
| 3 |
| PC |
| BP |
| AP |
| AB |
7.5
7.5
_分析：可判三角形为等边三角形，由正弦定理可得向量夹角的正弦值，进而可得余弦值，由数量积的定义可得答案．
解答：解：∵|
|=|
|=|
|=
，∴O为△ABC的重心，
又
•
=
•(
-
)=-(
+
)•(
-
)
=(
+
)•(
-
)=
2-
2=0可得
⊥
，
同理可得
⊥
，
⊥
，即O为垂心，
故△ABC为等边三角形，且边长为3
又
=2
，故P为边BC的三等分点，
在直角三角形ADP中，易得AP=
=
=
，
进而可得sin∠APB=sin∠APD=
=
故在△ABP中，由正弦定理可得
=
，
代入可得
=
，解得sin∠BAP=
，所以cos∠BAP=
故
•
=
×3×
=7.5
故答案为：7.5
| OA |
| OB |
| OC |
| 3 |
又
| OC |
| AB |
| OC |
| OB |
| OA |
| OA |
| OB |
| OB |
| OA |
=(
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OC |
| AB |
同理可得
| OA |
| BC |
| OB |
| AC |
故△ABC为等边三角形，且边长为3
又
| PC |
| BP |
在直角三角形ADP中，易得AP=
| AD2+PD2 |
(
|
| 7 |
进而可得sin∠APB=sin∠APD=
| AD |
| AP |
3
| ||
2
|
故在△ABP中，由正弦定理可得
| BP |
| sin∠BAP |
| AB |
| sin∠APB |
代入可得
| 1 |
| sin∠BAP |
| 3 | ||||||
|
| ||
2
|
| 5 | ||
2
|
故
| AP |
| AB |
| 7 |
| 5 | ||
2
|
故答案为：7.5
点评：本题考查向量的数量积，涉及三角形形状的判断和正弦定理，属中档题．
练习册系列答案
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，
，又
，则
= _
（其中m＜0、n＜0），S△AOB：S△AOC=2：3，则
= ．