题目内容
【题目】设整数是区间中的不同整数.证明:集合有这样的子集存在,它的所有元素之和能被整除.
【答案】见解析
【解析】
1.若,则个整数都属于.于是,其中至少有二数相等,令.
因,必有.
于是能被整除.
2.若.不妨设,考虑个整数,在其中任取三个数.若均能被整除,则
,
从而,,与矛盾.
故中至少有两个数之差不能被整除.
不妨设与的差不能被整除,考虑个整数:
.
i. 若这个数关于模的余数都不同,则其中必有一个数能被整除,令此数为.若为偶数,结论成立;若为奇数,加上即构成所需要的子集.
ii. 若这些数关于模有两个以上的数同余,则任取其中二数之差必被整除,对照这些数的表达式知,因为和不同余,故二同余的数之差必为原集合中若干数之和.不妨仍记此和为,以下讨论同i.
注:是必要的,例如时,结论对(0,6)的子集{1,3,4}不成立.
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