题目内容
【题目】设整数是区间
中的不同整数.证明:集合
有这样的子集存在,它的所有元素之和能被
整除.
【答案】见解析
【解析】
1.若,则
个整数
都属于
.于是,其中至少有二数相等,令
.
因,必有
.
于是能被
整除.
2.若.不妨设
,考虑
个整数
,在其中任取三个数
.若
均能被
整除,则
,
从而,,与
矛盾.
故中至少有两个数之差不能被
整除.
不妨设与
的差不能被
整除,考虑
个整数:
.
i. 若这个数关于模
的余数都不同,则其中必有一个数能被
整除,令此数为
.若
为偶数,结论成立;若
为奇数,加上
即构成所需要的子集.
ii. 若这些数关于模有两个以上的数同余,则任取其中二数之差必被
整除,对照这些数的表达式知,因为
和
不同余,故二同余的数之差必为原集合中若干数之和.不妨仍记此和为
,以下讨论同i.
注:是必要的,例如
时,结论对(0,6)的子集{1,3,4}不成立.

练习册系列答案
相关题目