题目内容
【题目】设整数
是区间
中的不同整数.证明：集合
有这样的子集存在，它的所有元素之和能被
整除.
【答案】见解析
【解析】
1.若
，则
个整数
都属于
.于是，其中至少有二数相等，令
.
因，必有
.
于是
能被整除.
2.若
.不妨设
，考虑
个整数
，在其中任取三个数
.若
均能被
整除，则
，
从而，
，与
矛盾.
故
中至少有两个数之差不能被整除.
不妨设
与
的差不能被整除，考虑个整数：
.
i. 若这个数关于模的余数都不同，则其中必有一个数能被整除，令此数为
.若
为偶数，结论成立；若为奇数，加上
即构成所需要的子集.
ii. 若这些数关于模有两个以上的数同余，则任取其中二数之差必被整除，对照这些数的表达式知，因为和不同余，故二同余的数之差必为原集合中若干数之和.不妨仍记此和为，以下讨论同i.
注：
是必要的，例如
时，结论对（0，6）的子集{1，3，4}不成立.
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