题目内容

已知两点A（-1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到 $数学公式$ 倍后得到点Q（x， $数学公式$ ）满足 $数学公式$ ．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为- $数学公式$ 的直线i交曲线C于M、N两点，且满足 $数学公式$ （O为坐标原点），试判断点H是否在曲线C上，并说明理由．

解（1）依据题意，有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，∴x²-1+2y²=1．
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是 $\text{[math]}$ +y²=1．
（2）因直线l过点B，且斜率为k=- $\text{[math]}$ ，故有l：y=- $\text{[math]}$ （x-1）
联立直线与椭圆，消元可得2x²-2x-1=0．
设两曲线的交点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得得 x₁+x₂=1，x₁x₂=- $\text{[math]}$ ，
于是 x₁+x₂=1，y₁+y₂= $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，于是 $\text{[math]}$ =（-x₁-x₂，-y₁-y₂），可得点H（-1，- $\text{[math]}$ ）．
将点H（-1，- $\text{[math]}$ ）的坐标代入曲线C的方程的左边，有 $\text{[math]}$ =1（=右边），即点H的坐标满足曲线C的方程．
所以点H在曲线C上．
分析：（1）确定向量AQ，BQ的坐标，利用 $\text{[math]}$ ，即可求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）求出直线方程与椭圆联立，利用 $\text{[math]}$ ，求得点H的坐标代入曲线C的方程，验证可得结论．
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．