Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a2-c2=

3

ab-b2，S_△ABC=2．
（1）求

CA

•

CB

的值；
（2）设函数y=sin(ωx+φ)，(其中φ∈[0，

π

2

]，ω＞0)，最小正周期为π，当x等于角C时函数取到最大值，求使该函数取最小值时的x的集合．

Answer 1

分析：（1）由a2-c2=

3

ab-b2得出

a2+b2-c2

ab

=

3

，根据余弦定理及特殊角的三角函数值求出C的度数，再根据面积公式

1

2

absinC和已知面积等于2求出ab的值，然后根据平面向量的数量积的运算法则表示出

CA

•

CB

，把ab代入即可求出；
（2）由正弦函数的周期为π根据周期公式T=

2π

λ

，求出ω=2，再根据正弦函数求最值的方法得到2x+φ=

π

2

+2kπ，把x=

π

6

代入即可求出φ的范围，因为φ为锐角确定出φ的度数，所以将φ的度数代入得：当2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ时取最小值，解出x即可．

解答：解：（1）根据余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

6

∵S_△ABC=2，∴

1

2

absin300=2，∴ab=8
∴

CA

•

CB

=abcos300=8×

3

2

=4

3

；

（2）函数当x=

π

6

时取最大值，当且仅当2x+φ=

π

2

+2kπ，即

π

3

+φ=

π

2

+2kπ
此时φ=

π

6

+2kπ．
又∵φ∈[0，

π

2

]，∴φ=

π

6

．
∴当2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ时取最小值．
即x=-

π

3

+kπ．

点评：考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式，会进行平面向量的数量积运算，会根据条件求正弦函数的最小值，会求正弦函数的周期，牢记特殊角的三角函数值．