题目内容
【题目】抛物线
的顶点为坐标原点O，焦点F在
轴正半轴上，准线
与圆
相切.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知直线
和抛物线交于点
，命题
：“若直线
过定点（0，1），则 
”，
请判断命题的真假，并证明.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）命题P为真命题
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为：x2=2py，p＞0，由已知条件得圆心（0，0）到直线l的距离
，由此能求出抛物线线C的方程；（Ⅱ）设直线m：y=kx+1，交点A 
，B 
联立抛物线C的方程
，得x2-4kx-4=0，△=16k2+16＞0恒成立，由此利用韦达定理能证明命题P为真命题
试题解析：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：
，
其准线
的方程为：
∵准线圆
相切 ∴
解得p=4
故抛物线线C的方程为：………….…5分
（Ⅱ）命题p为真命题 ……………………………………６分
直线m和抛物线C交于A，B且过定点（0，1），
故所以直线m的斜率k一定存在，………………………7分
设直线m：
，交点
，
，联立抛物线C的方程，
得
，
恒成立，………8分
由韦达定理得
………………………………………9分
=
∴命题P为真命题.………………………………………12分.
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