题目内容
（2007•东城区一模）已知f（x）=（x-1）2，g（x）=10（x-1），数列{an}满足a1=2，（an+1-an）g（an）+f（an）=0，bn=
(n+2)(an-1)．
（1）求证：数列{an-1}是等比数列；
（2）当n取何值时，{bn}取最大值，并求出最大值；
（3）若
＜
对任意m∈N*恒成立，求实数t的取值范围．
| 9 |
| 10 |
（1）求证：数列{an-1}是等比数列；
（2）当n取何值时，{bn}取最大值，并求出最大值；
（3）若
| tm |
| bm |
| tm+1 |
| bm+1 |
分析：（1）将an，代入函数f（x）与g（x）的解析式化简得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0，所以两边除以an-1，得10（an+1-1）=9（an-1），而a1-1=1，{an-1}就是首项为1，公比为
的等比数列．
（2）求出bn的通项公式，然后研究{bn}的单调性，从而求出n取何值时，bn取最大值，以及最大值；
（3）设数列{
}，若
＜
对任意m∈N*恒成立，则数列{
}为递增数列，设其通项为cn=
(
)n为递增数列；那么对于任意的自然数n，我们都有cn+1≥cn，从而求出t的取值范围．
| 9 |
| 10 |
（2）求出bn的通项公式，然后研究{bn}的单调性，从而求出n取何值时，bn取最大值，以及最大值；
（3）设数列{
| tn |
| bn |
| tm |
| bm |
| tm+1 |
| bm+1 |
| tn |
| bn |
| 1 |
| n+2 |
| 10t |
| 9 |
解答：证明：（1）由方程，（an+1-an）g（an）+f（an）=0
得：（an+1-an）×10×（an-1）+（an-1）2=0
整理得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0；
显然由a1=2，则an显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以an-1；
得10×（an+1-an）+an-1=0．整理后得：10（an+1-1）=9（an-1），
a1-1=1，{an-1}就是首项为1，公比为
的等比数列．
解：（2）将an-1=（
）n-1代入bn=
(n+2)(an-1)得bn=（
）n×（n+2）．
bn+1-bn=（
）n+1×（n+3）-（
）n×（n+2）=（
）n×
．
∴{bn}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减
∴当n取7或8，{bn}取最大值，最大值为9×（
）7
（3）设数列{
}，若
＜
对任意m∈N*恒成立，
则数列{
}为递增数列，设其通项为cn=
(
)n为递增数列；
那么对于任意的自然数n，我们都有cn+1＞cn 显然我们可以得：
＞
该不等式恒成立条件是左边的比右边的最大值还要大，就行取n=1．求得t＞
∴实数t的取值范围为（
，+∞）
得：（an+1-an）×10×（an-1）+（an-1）2=0
整理得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0；
显然由a1=2，则an显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以an-1；
得10×（an+1-an）+an-1=0．整理后得：10（an+1-1）=9（an-1），
a1-1=1，{an-1}就是首项为1，公比为
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| 10 |
解：（2）将an-1=（
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| 10 |
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| 10 |
| 9 |
| 10 |
bn+1-bn=（
| 9 |
| 10 |
| 9 |
| 10 |
| 9 |
| 10 |
| 7-n |
| 10 |
∴{bn}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减
∴当n取7或8，{bn}取最大值，最大值为9×（
| 9 |
| 10 |
（3）设数列{
| tn |
| bn |
| tm |
| bm |
| tm+1 |
| bm+1 |
则数列{
| tn |
| bn |
| 1 |
| n+2 |
| 10t |
| 9 |
那么对于任意的自然数n，我们都有cn+1＞cn 显然我们可以得：
| 10t |
| 9 |
| n+3 |
| n+2 |
该不等式恒成立条件是左边的比右边的最大值还要大，就行取n=1．求得t＞
| 6 |
| 5 |
∴实数t的取值范围为（
| 6 |
| 5 |
点评：本题主要考查了等比数列的判定，以及数列的最值和数列的单调性的判定，是一道综合题，有一定的难度．
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