题目内容
（2007•东城区一模）设A，B分别是直线y=
x和y=-
x上的两个动点，并且|
|=
，动点P满足
=
+
．记动点P的轨迹为C．
（I） 求轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且
=λ
，求实数λ的取值范围．
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| AB |
| 20 |
| OP |
| OA |
| OB |
（I） 求轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且
| DM |
| DN |
分析：（ I） 设P（x，y），A(x1，
x1)，B(x2，-
x2)．由
=
+
，知
，
，由|
|=
，知(x1-x2)2+
(x1+x2)2=20．由此能求出曲线C的方程．
（ II） 设N（s，t），M（x，y），则由
=λ
，可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．故x=λs，y=16+λ （t-16）．由M、N在曲线C上，知
由此能求出实数λ的取值范围．
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| OP |
| OA |
| OB |
|
|
| AB |
| 20 |
| 4 |
| 5 |
（ II） 设N（s，t），M（x，y），则由
| DM |
| DN |
|
解答：解：（ I） 设P（x，y），
为A、B分别为直线y=
x和y=-
x上的点，
故可设A(x1，
x1)，B(x2，-
x2)．
∵
=
+
，
∴
，
∴
，…（4分）
又|
|=
，
∴(x1-x2)2+
(x1+x2)2=20．…（5分）
∴
y2+
x2=20．
即曲线C的方程为
+
=1．…（6分）
（ II） 设N（s，t），M（x，y），
则由
=λ
，
可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．
故x=λs，y=16+λ （t-16）．…（8分）
∵M、N在曲线C上，
∴
…（10分）
消去s得
+
=1．
由题意知λ≠0，且λ≠1，
解得t=
．…（12分）
又|t|≤4，
∴|
|≤4．
解得
≤λ≤
（λ≠1）．
故实数λ的取值范围是
≤λ≤
（λ≠1）．…（14分）
为A、B分别为直线y=
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
故可设A(x1，
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
∵
| OP |
| OA |
| OB |
∴
|
∴
|
又|
| AB |
| 20 |
∴(x1-x2)2+
| 4 |
| 5 |
∴
| 5 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
即曲线C的方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
（ II） 设N（s，t），M（x，y），
则由
| DM |
| DN |
可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．
故x=λs，y=16+λ （t-16）．…（8分）
∵M、N在曲线C上，
∴
|
消去s得
| λ2(16-t2) |
| 16 |
| (λt-16λ+16)2 |
| 16 |
由题意知λ≠0，且λ≠1，
解得t=
| 17λ-15 |
| 2λ |
又|t|≤4，
∴|
| 17λ-15 |
| 2λ |
解得
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 3 |
故实数λ的取值范围是
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 3 |
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，容易出错．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
（2007•东城区一模）如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．