Question

7．从一点O顺次引出八条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG、OH，其中每相邻两条射线的夹角都是45°，在OA上取OA=a，由A作OB的垂线AA₁，A₁是垂足；由点A₁作OC的垂线A₁A₂，A₂是垂足，由点A₂作OD的垂线A₂A₃，A₃是垂足，然后用同样的方法如此无限继续下去，求所得折线A₁A₂A₃A₄…的长度．

Answer 1

分析 由题意可得AA₁=OA₁=asin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，A₁A₂=OA₂=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²a，A₂A₃=OA₃=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³a，进而得到通项，再由等比数列的求和公式和无穷等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：由题意可得，AA₁=OA₁=asin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
A₁A₂=OA₂=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²a，
A₂A₃=OA₃=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³a，
…
A_n+1A_n═（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿa，
则折线A₁A₂A₃A₄…=A₁A₂+A₂A₃+…+A_nA_n+1+…
=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²a+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³a+…+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿa+…
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1}{2}a（1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}）}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{a}{2-\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$a．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，注意运用无穷等比数列的求和公式，属于中档题．