Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）平面BEF∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）平面PAD⊥底面ABCD，由此能证明PA⊥底面ABCD．
（2）由已知得ABCD是平行四边形，从而AD∥BE，由三角形中位线定理得EF∥PD，由此能证明平面BEF∥平面PAD．
（3）由BE⊥CD，AD⊥CD，得PA⊥CD，从而CD⊥PD，再推导出PD∥EF，由此能证明平面BEF⊥平面PCD．

解答 证明：（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
∴PA⊥底面ABCD．
（2）∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，
∴AB∥DE，且AB=DE，
∴ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，
∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，
∵EF?平面PAD，PD?平面PAD，∴EF∥平面PAD，
∵BF∩BE=B，AD∩PD=D，
∴平面BEF∥平面PAD．
（3）∵AB⊥AD，ABED是平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由（1）知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，
∴CD⊥EF，∴CD⊥平面BEF，
∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．

点评 本题考查线面垂直、面面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．