Question

（2010•绵阳二模）已知函数f（x）=xln x（x＞0）．
（1）若b≥

1

e

，求证bbe≥

1

e

（e是自然对数的底数）；
（2）设F（x）=f（x）+（a-1）x（x≥1，a∈R），试问函数F（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先对函数求导，研究函数的单调区间，由b≥e结合函数的单调性可得f（b）≥f（e），整理可得
（2）对函数F（x）求导，找出该函数的极值点x=e^-a，讨论e^-a与1的大小，确定F（x）在区间[1，+∞）上的单调性，判断函数F（（x）是否存在最小值

解答：解：由已知有f'（x）=lnx+1，
令f'（x）=0，即lnx+1=0，解得x=

1

e

．当x∈[

1

e

，+∞)时，f'（x）≥0，即f（x）在[

1

e

，+∞)上是增函数；
当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，即f（x）在(0，

1

e

)上是减函数．（4分）
于是由b≥

1

e

，有f（b）≥f（

1

e

），即blnb≥

1

e

ln

1

e

．
整理得lnbbe≥ln

1

e

∴bbe≥

1

e

．（6分）
（2）F'（x）=f'（x）+（a-1）=lnx+a，令F'（x）=0，即lnx+a=0，
解得x=e^-a．当e^-a≤1，即a≥0时，F（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴F（x）_min=F（1）=a-1；
当e^-a＞1，即a＜0时，F（x）在[1，e^-a]上是减函数，在（e^-a，+∞）上是增函数，
∴F（x）_min=F（e^-a）=e^-alne^-a+（a-1）e^-a=-e^-a．
即F（x）存在最小值，当a≥0时，最小值为a-1，当a＜0时，最小值为-e^-a．（12分）

点评：本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．