Question

12．若关于x的方程9^x+a•3^x+1=0有正实数解，则实数a的取值范围为（-∞，-2）．

Answer 1

分析 可分离出a，转化为函数f（x）=$\frac{{9}^{x}+1}{{3}^{x}}$的值域问题，令3^x=t，利用单调性和不等式的性质求值域即可．

解答 解：方程9^x+a•3^x+1=0，即为
a=-$\frac{{9}^{x}+1}{{3}^{x}}$，令3^x=t（t＞1），
则f（x）=$\frac{{9}^{x}+1}{{3}^{x}}$=t+$\frac{1}{t}$，
因为t+$\frac{1}{t}$在（1，+∞）递增，
所以t+$\frac{1}{t}$＞2，
即有a＜-2，
所以a的范围为（-∞，-2）．
故答案为：（-∞，-2）．

点评 本题考查方程有解问题、基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法．属中档题．