题目内容
【题目】如图，四棱锥
的底面是菱形，平面
底面
，
，
分别是
，
的中点，
，
，
.
（1）求证：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接
，由菱形的性质可得：
，结合三角形中位线的性质可知：
，故
，再由平面
平面
可得
，得
平面
，可得证；
（2）由题意结合菱形的性质易知
，
，
，以点
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，求得平面的一个法向量，向量
，根据线面角的空间向量坐标公式可求得直线
与平面所成角的正弦值.
（1）连接，由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，
∵
，∴
，
∵平面平面，
平面
平面，
平面
，
∴
底面，
底面，故，
且
，故平面，
平面，∴
.
（2）由题意结合菱形的性质易知，，，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，则：
，
据此可得平面的一个法向量为
，
而
，设直线与平面所成角为
，则
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为
，当
时，产品为一级品；当
时，产品为二级品；当
时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为
配方和
配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
配方的频数分布表
指标值分组 |
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频数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
配方的频数分布表
指标值分组 |
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频数 | 5 | 10 | 15 | 30 | 40 |
（1）从配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；
（2）若这种新产品的利润率
与质量指标满足如下条件：
，其中
，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大?
