题目内容
【题目】已知函数有极值,且导函数
的极值点是
的零点,给出命题:①
;②若
,则存在
,使得
;③若
有两个极值点
,
,则
;④若
,且
是曲线
,
的一条切线,则
的取值范围是
;则以上命题正确序号是______.
【答案】①②④
【解析】
由函数有极值,求得的范围,同时有导函数
的极值点是
的零点求得
的关系,判断四个命题的真假,其中①由刚才的关系式就可判断,②用导数研究函数的单调性,结合零点存在定理可得,③可举反例说明,④用已知得出
在
单调性,化简函数,利用导数的几何意义求出
的表达式,从而求得其取值范围.
由题意,
,即
.
设,则
,由
得
,由
是一次函数知
是
的极值点(本题是极小值点),即为
的极值点,
所以,即
.
①,①正确;
②显然时,
,
设的两解为
,即为
的两个极值点,则
,
中有一个小于1,一个大于1,不妨设
,
是极大值,而
,若
,则
,
在
上在一个零点
,当
时,
在
上单调递增,
,因此
在
上有零点
.
所以且
.②正确;
③若,则极值为0和2,
,③错误;
④由,知②中
,因此
在
上递增,
,
,
,设切点为
,
则,即
,整理得
,
,因为
,所以
,又
,解得
,
,
由上知是增函数,所以当
时,
.④正确.
故答案为:①②④.
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【题目】随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加.下表是某购物网站2018年1月~8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据.
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
促销费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 21 | 15 | 18 |
产品销量 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 4 | 4.5 |
(1)根据数据可知与
具有线性相关关系,请建立
与
的回归方程
(系数精确到0.01);
(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年,特制定奖励制度:以(单位:件)表示日销量,
,则每位员工每日奖励100元;
,则每位员工每日奖励150元,
,则每位员工每日奖励200元.现已知该网站6月份日销量
服从正态分布
,请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元(当月奖励金额总数精确到百分位).
参考数据:,
,其中
,
分别为第
个月的促销费用和产品销量,
.
参考公式:①对于一组数据,
,…,
,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
;②若随机变量
服从正态分布
,则
,
.