题目内容
(本小题满分12分)
设函数,曲线
在点
处的切线方程
.
(1)求的解析式,并判断函数
的图像是否为中心对称图形?若是,请求其对称中心;否则说明理由。
(2)证明:曲线上任一点的切线与直线
和直线
所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
(3) 将函数的图象向左平移一个单位后与抛物线
(
为非0常数)的图象有几个交点?(说明理由)
(1) 的图像是以点
为中心的中心对称图形.
(2) 三角形的面积为定值
(3) 由三次函数的图象是连续的可知F(x)至少有一零点
当时
在R上为减函数(减函数至多有一个零点),
所以此时F(x)有且只有一个零点;
解析试题分析:解:(1),
曲线在点
处的切线方程为y=3,
于是 解得
或
因,故
.
,满足
,所以
是奇函数
所以,其图像是以原点(0,0)为中心的中心对称图形.
而函数的图像按向量
平移,即得到函数
的图像,
故函数的图像是以点
为中心的中心对称图形.
(2)证明:在曲线上任取一点. 由
知,
过此点的切线方程为.
令得
,切线与直线
交点为
.
令得
,切线与直线
交点为
.
直线与直线
的交点为
.
从而所围三角形的面积为.
所以,所围三角形的面积为定值.
(3)将函数的图象向左平移一个单位后得到的函数为
,
它与抛物线的交点个数等于方程
=
的解的个数
法一:
即 (
解的个数,(易知0不是其解,不产生增根)
即 的零点(与x轴交点的横坐标)的个数
由三次函数的图象是连续的可知F(x)至少有一零点 11分
当时
在R上为减函数(减函数至多有一个零点),
所以此时F(x)有且只有一个零点;
考点:导数的几何意义以及函数零点
点评:解决的关键是能结合导数的几何意义表示切线方程,进而分析函数的零点个数,需要对于a分类讨论得到,属于中档题。
