Question

（2006•蓟县一模）设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，A为椭圆上的点，且

AF2

•

F1F2

=0，cos∠AF1F2=

2 2

3

，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  10

  8

• B．

  10

  4

• C．

  2

  4

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：根据向量数量积的性质，由

AF2

•

F1F2

=0得AF₂⊥F₁F₂，Rt△AF₁F₂中利用三角函数的定义算出|AF₁|=

3 2

2

c，利用勾股定理算出|AF₂|=

2

2

c，进而得到长轴2a=|AF₁|+|AF₂|=2

2

c，即可算出该椭圆的离心率．

解答：解：∵

AF2

•

F1F2

=0，∴

AF2

⊥

F1F2

∵Rt△AF₁F₂中，cos∠AF1F2=

2 2

3

∴

|F 1F2|

|AF1|

=

2 2

3

，得|AF₁|=

3 2

4

|F₁F₂|=

3 2

2

c
由勾股定理，得|AF₂|=

|AF1|2-|F 1F2|2

=

2

2

c
根据椭圆的定义，得长轴2a=|AF₁|+|AF₂|=2

2

c
∴椭圆的离心率e=

2c

2a

=

2c

2 2 c

=

2

2

故选：D

点评：本题给出椭圆中的焦点三角形，在AF₂⊥F₁F₂且cos∠AF1F2=

2 2

3

的情况下求椭圆的离心率．着重考查了向量数量积的性质、直角三角形中三角函数的定义和椭圆的定义与概念等知识，属于基础题．