Question

已知正实数x，y满足x+y=1，若

1

x

+

a

y

的最小值为9，则正数a=

4

．

Answer 1

分析：把要求的式子

1

x

+

a

y

变形为 （x+y）（

1

x

+

a

y

），利用基本不等式即可得到

1

x

+

a

y

的最小值，列式即可求出a值．

解答：解：∵a＞0，
∴

1

x

+

a

y

=（

1

x

+

a

y

）（x+y）=1+a+

ax

y

+

y

x

≥a+1+2

a

=（

a

+1）²，
当且仅当

ax

y

=

y

x

取等号，
则有(

a

+1)2=9，解得a=4．
故答案为：4．

点评：本题考查基本不等式的应用，把要求的式子

1

x

+

a

y

变形为 （x+y）（

1

x

+

a

y

），是解题的关键．