题目内容
如图,四棱锥的底面是直角梯形,
,
,
和
是两个边长为
的正三角形,
,
为
的中点,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ)求直线与平面
所成角的正弦值.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) 详见解析;(Ⅲ) 直线与平面
所成角的正弦值为
.
解析试题分析:(I)利用两平面垂直的性质定理,证明BC平面AEC,再根据线面垂直的性质定理证明AE
BC,根据勾股定理证明AE
EC,利用线面垂直的判定定理证明AE
平面BCEF;(II)三棱锥体积利用体积转换为以E为顶点,
为底面的椎体体积求得. 等体积转化,是立体几何经常运用的一种方法,高考也考过.
试题解析:(Ⅰ)证明:设为
的中点,连接
,则
,∵
,
,
,∴四边形
为正方形,∵
为
的中点,∴
为
的交点,∵
,
,
∵,∴
,
,在三角形
中,
,∴
,∵
,∴
平面
;
(Ⅱ)方法1:连接,∵
为
的中点,
为
中点,∴
,∵
平面
,
平面
,∴
平面
.方法2:由(Ⅰ)知
平面
,又
,所以过
分别做
的平行线,以它们做
轴,以
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,由已知得:
,
,
,
,
,
,则
,
,
,
.∴
∴
∵
平面
,
平面
,∴
平面
;
(Ⅲ) 设平面的法向量为
,直线

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