题目内容
【题目】在四棱锥中,
,
.
为
的中点.
(1)若点为
的中点,求证:
平面
;
(2)当平面平面
时,线段
上是否存在一点
,使得平面
与平面
所成锐二面角的大小为
?若存在,求出点
的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,.
【解析】
(1)利用线面平行的判定定理证明平面
,
平面
,由面面平行的判定定理得到平面
平面
,再由面面平行的性质即可得到
平面
;
(2) 以为坐标原点,分别以
,
为
轴,建立空间直角坐标系
,利用向量法求解即可.
证明:(1)连接,
.由已知得,
为等边三角形,
.
∵,
,由余弦定理可得:
∴
∴,∴
又∵平面
,
平面
∴平面
∵为
的中点,
为
的中点,∴
.
又∵平面
,
平面
∴平面
.
∵,
平面
∴平面平面
.
∵平面
,∴
平面
.
(2)取中点为
,连接
,
因为,
,所以
,
.
∵平面平面
,且交线为
,
,
面
∴平面
.
,
,以
为坐标原点,分别以
,
为
轴,建立空间直角坐标系
.
,
,
,
,
.
设,
则可得
∵平面
∴平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
.
∵,
由得
取 得
设平面与平面
所成锐二面角为
,则
化简得:,解得
(舍),
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目