题目内容
如图，已知ABCD是矩形，M、N分别是PC、PD上的点，MN⊥PC，且PA⊥平面ABCD，AN⊥PD，求证：AM⊥PC．分析：利用线面垂直的判定定理证出CD⊥平面PAD，利用线面垂直的性质得到CD⊥AN，再利用线面垂直的判定定理证出
AN⊥平面PCD，利用线面垂直的性质得到AM⊥PC．
AN⊥平面PCD，利用线面垂直的性质得到AM⊥PC．
解答：证明：∵ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AN?平面PAD，
∴CD⊥AN，
∵AN⊥PD于点N，CD∩PD=D，
∴AN⊥平面PCD，
∴AN⊥PC，
又MN⊥PC交PC于M，
∴PC⊥平面AMN，
∴AM⊥PC．
∴CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AN?平面PAD，
∴CD⊥AN，
∵AN⊥PD于点N，CD∩PD=D，
∴AN⊥平面PCD，
∴AN⊥PC，
又MN⊥PC交PC于M，
∴PC⊥平面AMN，
∴AM⊥PC．
点评：本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理，证明线线垂直常利用证明线面垂直，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知ABCD是边长为a的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG⊥面ABCD，CG=a．
如图，已知ABCD是底角为30°的等腰梯形，AD=2
如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，CE=λAF（λ＞1）．
如图，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PB=2，PB与平面ABCD所成的角为30°，PB与平面PCD所成的角为45°，求：
如图，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=FB=2DE．