题目内容
【题目】设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(1)求函数f(x)的极值;(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)先求出函数的导数,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间,根据函数的单调性,可得函数的极值;(2)方程
有三个实根等价于,
与
有三个交点,画出函数的大致图象,结合图象与函数的极值可求出
取值范围.
试题解析:(1)f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0,
解得x1=-,x2=
.
因为当x>或x<-
时,f′(x)>0;
当-<x<
时,f′(x)<0.
所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(
,+∞);
单调递减区间为(-,
).
当x=-时,f(x)有极大值5+4
;
当x=时,f(x)有极小值5-4
.
(2)由(1)的分析知y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.
所以,当5-4<a<5+4
时,
直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同的交点,
即方程f(x)=a有三个不同的实根.
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