Question

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a＜1时，A={x|a≤x≤1}，不符合；
当a≥1时，A={x|-2≤x≤1}，设a∈[n，n+1），n∈N，则
1+2++n=

n(n+1)

2

=28，
所以n=7，即a∈[7，8）
（2）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．而S₂=a+a²∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；
当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，而Sn=

a(1-an)

1-a

是关于n的增函数，
所以S_n随n的增大而增大，
当Sn＜

a

1-a

且无限接近

a

1-a

时，对任意的n∈N₊，S_n∈A，只须a满足

0＜a＜1 a 1-a ≤1

解得0＜a≤

1

2

．
当a＜-1时，A={x|a≤x≤1}．
而S₃-a=a²+a³=a²（1+a）＜0，S₃∉A故不存在实数a满足条件．
当a=-1时，A={x|-1≤x≤1}．S_2n-1=-1，S_2n=0，适合．
⑤当-1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}．S_2n+1=S_2n-1+a_2n+a_2n+1=S_2n-1+a²ⁿ+a²ⁿ⁺¹=S_2n-1+a²ⁿ（1+a）＞S_2n-1，S_2n+2=S_2n+a_2n+1+a_2n+2=S_2n+a²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺²=S_2n+a²ⁿ⁺¹（1+a）＜S_2n，
∴S_2n-1＜S_2n+1，S_2n+2＜S_2n，且S₂=S₁+a²＞S₁．
故S₁＜S₃＜S₅＜…＜S_2n+1＜S_2n＜S_2n-2＜…＜S₄＜S₂．
故只需

S2∈A S1∈A

即

a+a2≤1 -1＜a＜0

解得-1＜a＜0．
综上所述，a的取值范围是{a|0＜a≤

1

2

或-1≤a＜0}．