Question

在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[3.3]=3，[-2.4]=-3，设函数f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

，则函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域为

{0，-1}

．

Answer 1

分析：由题意得，函数f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

是定义在R上的奇函数，值域为(-

1

2

，

1

2

)，且f（-x）的值域也是(-

1

2

，

1

2

)；分x＞0，x=0，x＜0时讨论函数y的值即可．

解答：解：由题意，∵函数f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

，∴f(-x)=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

；
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．
又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0＜

1

1+2x

＜1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

．
即-

1

2

＜f(-x)＜

1

2

，∴-

1

2

＜f(x)＜

1

2

．
当x=0时，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；
当x≠0时，若x＞0，0＜f(x)＜

1

2

，-

1

2

＜f(-x)＜0
∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1；
若x＜0，y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1，
∴函数y的值域为{0，-1}．
故答案应为{0，-1}．

点评：本题以高斯函数为素材，用求值域来考查指数函数的性质、函数的奇偶性、函数的取整问题，有一定的技巧性．