Question

在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．例如：[2]=2，[3.1]=3，[-2.6]=-3．设函数f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

，则函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域为

 

．

Answer 1

分析：由题意知，f（x）是定义域R上的奇函数，且值域是（-

1

2

，

1

2

）；∴f（-x）的值域也是（-

1

2

，

1

2

）；
分x=0，x＞0，x＜0时讨论函数y的值即可．

解答：解：由题意，f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=1-

1

1+2x

-

1

2

=

1

2

-

1

1+2x

；f（-x）=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

；
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．
又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0 ＜

1

1+2x

＜ 1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

；
即-

1

2

＜f（-x）＜

1

2

．所以，-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．
当x=0时，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；
当x≠0时，若x＞0，则0＜f（x）＜

1

2

，-

1

2

＜f（-x）＜0，
∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1，
若x＜0，则y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1．
所以函数y的值域为{0，-1}．
故答案为：{0，-1}

点评：本题用求值域来考查指数函数的性质，函数的奇偶性，函数取整问题，应该是有难度的小题．