题目内容

已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
（1）判断函数f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若y=k+
x
(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围．
分析：（1）可判断函数f（x）在定义域内不单调，由闭函数的定义可作出判断；
（2）按照闭函数的定义只需证明两条：①在定义域内单调；②该函数值域也为[-1，1]；
（3）由y=k+
x
是（0，+∞）上的增函数，知其符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，从而有
a=k+
a
b=k+
b
，问题转化为方程x=k+
x
有两个不等非负实根，利用二次方程根的分布知识可得k的限制条件；
解答：解：（1）函数f（x）在区间(-∞，
1
2
]上单调递减，在(
1
2
，+∞)上单调递增；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
（2）先证y=-x3符合条件①：对于任意x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，
有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+
1
2
x1)2+
3
4
x12]＞0，
∴y1＞y2，故y=-x3是R上的减函数．
又因为y=-x3在[-1，1]上的值域是[-1，1]．
所以函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）易知y=k+
x
是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有
a=k+
a
b=k+
b
；
故a，b是x=k+
x
的两个不等根，即方程组为：
x2-(2k+1)x+k2=0
x≥0
x≥k
有两个不等非负实根；
设x1，x2为方程x2-（2k+1）x+k2=0的二根，则
△=(2k+1)2-4k2＞0
x1+x2=2k+1＞0
x1x2=k2≥0
k＜0
，
解得：-
1
4
＜k＜0
∴k的取值范围(-
1
4
，0)．
点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，并利用新定义求参数的值．
练习册系列答案
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已知y=f（x）是定义域为(
1
2
，+∞)的可导函数，f（1）=f（3）=1，f（x）的导数为f′（x），且x∈(
1
2
，2)时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，则不等式组
-2≤x-2y≤
1
2
f(2x+y)≤1
所表示的平面区域的面积等于（　　）
已知函数f（x）=log2（x+1），当点 （x，y） 是函数y=f （x） 图象上的点时，点是函数y=g（x） 图象上的点．
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（2）当g（x）-f （x）≥0时，求x的取值范围；
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②写出一组数a，x（x≠3，保留4位有效数字），使得f（x）＜0成立；
（2）在曲线上存在两个不同点关于直线y=x对称，求出其坐标；若曲线（p≠0）上存在两个不同点关于直线y=x对称，求实数p的范围；
（3）当0＜a＜1时，就函数y=ax与y=logax的图象的交点情况提出你的问题，并取及加以研究．当0＜a＜1时，就函数y=ax与y=logax的图象的交点情况提出你的问题，并加以解决．（说明：①函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间上单调递减，在区间上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分．）

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