Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），当点 （x，y） 是函数y=f （x） 图象上的点时，点是函数y=g（x） 图象上的点．
（1）写出函数y=g （x） 的表达式；
（2）当g（x）-f （x）≥0时，求x的取值范围；
（3）当x在 （2）所给范围内取值时，求g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令 =X，=Y，由题设条件知 Y=log₂（3X+1），再由（X，Y）是函数y=g（x）的图象上的点，即可得到函数y=g（x）的解析式．
（2）由题意知 ．由对数函数的性质可得 ，解不等式组即可得到使g（x）＞f（x）的x的取值范围．
（3）由题设条件知 ．由此可知结合基本不等式即可求出g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值．
解答：解：（1）令X=，Y=，
∴x=3X，y=2Y，
∵点 （x，y） 是函数y=f （x） 图象上，
∴2Y=log₂（3X+1），
即Y=log₂（3X+1），
∴g （x）=log₂（3x+1）（x＞-）；
（2）由g（x）-f （x）≥0，得log₂（3x+1）-log₂（x+1）≥0，
∴，
解得0≤x≤1；
∴x的取值范围为0≤x≤1；
（3）∵因为0≤x≤1，
所以 ．
当且仅当3x+1=2时，即 x=时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为 =log₂3-．
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，其中（1）中求解析式是坐标法中的“点随点动”问题，（2）中关键是根据对数函数的性质构造关于x的不等式组，（3）的关键是根据基本不等式，求出真数部分的最大值，进而根据对数函数的单调性，得到y=g（x）-f（x）的最大值．