Question

（2011•松江区二模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，沿EF将梯形ABCD翻折，使AE⊥平面EBCF（如图）．设AE=x，四面体DFBC的体积记为f（x）．
（1）写出f（x）表达式，并求f（x）的最大值；
（2）当x=2时，求二面角D-BF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由于四面体DFBC为三棱锥故可利用三棱锥的体积公式求出其体积的表达式由于AD∥面EBFC且AE⊥平面EBCF故三棱锥D-BFC的高为AE的长，又三角形FBC的面积可由

1

2

BC×BE求出从而求出四面体DFBC的体积f（x）的表达式然后再结合函数的特性求其最大值即可．
（2）可利用空间向量求解．根据条件可得AE⊥EF，AE⊥BE，BE⊥EF故可建立如图所示的空间直角坐标系然后求出面DBF和面EBF的法向量则两个法向量的夹角即为二面角的平面角然后利用向量夹角公式即可求出二面角D-BF-E的余弦值．

解答：解：（1）∵AE⊥平面EBCF
过D作DH∥AE，则DG=AE，且DH⊥平面EBCF
所以 f（x）=V_D-BFC=

1

3

×S△BFC×DG=

1

3

×

1

2

×4×(4-x)×x=-

2

3

(x-2)2+

8

3

≤

8

3

即x=2时f（x）有最大值为

8

3

（2）∵AE⊥面平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
故可如图建立空间坐标系E-xyz
则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）
设平面DBF的法向量为

n1

=(x，y，z)
∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0）
∴

BF

=(-2，3，0)，

BD

=（-2，2，2）
则

n • BD =0 n • BF =0

即

(x，y，z)•(-2，2，2)=0 (x，y，z)•(-2，3，0)=0

，

-2x+2y+2z=0 -2x+3y=0

取x=3，则y=2，z=1
∴

n1

=(3，2，1)
平面BCF的一个法向量为

n2

=(0，0，1)
记此二面角的平面角为θ，则cosθ=

n1 • n2

|n1||n2|

=

1

14

=

14

14

所以此二面角的余弦值为

14

14

点评：本题主要考察了三棱锥体积和二面角的求解．解题的关键是在求三棱锥体积时主要是高的求解这要充分分析题中条件找到高或‘等价的高'而对于二面角的求解可采用空间向量的方法即求出二面角的两个半平面的法向量然后利用向量的夹角公式求出法向量的夹角的余弦值再结合图形特征和法向量的夹角的余弦值的正负得出二面角的大小是法向量的夹角还是其补角，但此法计算量较大，因此在以后的学习中要加强计算能力的训练！