题目内容

（2011•松江区二模）我们把一系列向量
ai
（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{
ai
}．已知向量列{
ai
}满足：
a1
，
an
=
1
2
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2）．
（1）证明数列{|
ai
|}是等比数列；
（2）设θn表示向量
an-1
，
an
间的夹角，若bn=2nθn-1，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn；
（3）设|
an
|•log2|
an
|，问数列{cn}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由|
an
|=
1
2
(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2
=
2
2
x
2
n-1
+
y
2
n-1
=
2
2
||
an-1
|，知数列{
ai
}是等比数列．
（2）由cosθn=
an-1
•
an
|
an-1
|•|
an
|
=
1
2
(
x
2
n-1
+
y
2
n-1
)
2
2
(
x
2
n-1
+
y
2
n-1
)
=
2
2
，知bn=
nπ
2
-1，由此能求出求Sn．
（3）由|
an
|=
2
(
2
2
)n-1=2
2-n
2
，知cn=
2-n
2
•2
2-n
2
．假设{cn}中的第n项最小，由c1=
2
2
，c2=0，能够推导出数列{cn}中存在最小项，最小项是c5=-
3
2
•2-
3
2
．
解答：解：（1）|
an
|=
1
2
(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2
…（1分）
=
2
2
x
2
n-1
+
y
2
n-1
=
2
2
||
an-1
|，∴数列{
ai
}是等比数列…（3分）
（2）∵cosθn=
an-1
•
an
|
an-1
|•|
an
|
=
1
2
(
x
2
n-1
+
y
2
n-1
)
2
2
(
x
2
n-1
+
y
2
n-1
)
=
2
2
…（5分）
∴θn=
π
4
，∴bn=
nπ
2
-1…（7分）
∴Sn=(
1
2
π-1)+(
2
2
π-1)+…+(
n
2
π-1)=
π
4
(n2+n)-n…（8分）
（3）∵|
an
|=
2
(
2
2
)n-1=2
2-n
2
∴cn=
2-n
2
•2
2-n
2
…（10分）
假设{cn}中的第n项最小，由c1=
2
2
，c2=0，∴0≤c2＜c1…（11分）
当n≥3时，有cn＜0，由cn≤cn+1
得  
2-n
2
•2
2-n
2
≤
2-(n+1)
2
•2
2-(n+1)
2

即
2-n
1-n
≥2-
1
2
，(
2-n
1-n
)2≥
1
2
n2-6n+7≥0，n≥3+
2
或n≤3-
2
（舍），
∴n≥5
即有c5＜c6＜c7＜…；                                   …（13分）
由cn≥cn+1，得3≤n≤5，又0≤c2＜c1，∴c5＜c4＜…＜c1；…（15分）
故数列{cn}中存在最小项，最小项是c5=-
3
2
•2-
3
2
．…（16分）
点评：本题考查数列和向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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1
3x
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4
3
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9
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