Question

16．求方程组$\left\{\begin{array}{l}{x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}=39-xy}\\{y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}=52-yz}\\{z\sqrt{xy}+x\sqrt{yz}=78-xz}\end{array}\right.$的正数解．

Answer 1

分析 设$\sqrt{xy}$=s，$\sqrt{yz}$=t，$\sqrt{xz}$=u，只考虑x，y，z＞0d的情况．化为xy=s²，yz=t²，xz=u²，x=$\frac{su}{t}$，y=$\frac{st}{u}$，z=$\frac{tu}{s}$，于是原方程组化为：$\left\{\begin{array}{l}{su+st=39-{s}^{2}}\\{st+tu=52-{t}^{2}}\\{tu+su=78-{u}^{2}}\end{array}\right.$，可得s+t+u=13．代入上述方程组解得：t=4，u=6，s=3．进而解出．

解答 解：设$\sqrt{xy}$=s，$\sqrt{yz}$=t，$\sqrt{xz}$=u，只考虑x，y，z＞0d的情况．
则xy=s²，yz=t²，xz=u²，x=$\frac{su}{t}$，y=$\frac{st}{u}$，z=$\frac{tu}{s}$，
∴原方程组化为：$\left\{\begin{array}{l}{su+st=39-{s}^{2}}\\{st+tu=52-{t}^{2}}\\{tu+su=78-{u}^{2}}\end{array}\right.$，
∴（s+t+u）²=169，解得s+t+u=13．
代入上述方程组解得：t=4，u=6，s=3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy=9}\\{yz=16}\\{xz=36}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=2}\\{z=8}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了“换元法”解方程组、乘法公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．