Question

定义在（-1，1）上的函数f（x），（i）对任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；（ii）当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，回答下列问题．
（1）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由．
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲说明f（x）在（-1，1）上是奇偶性，只需说明f（-x）与f（x）的关系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x，即可求出所求；
（2）先设0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），，根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定．

解答：解：（1）令x=y=0?f（0）=0，令y=-x，则f（x）+f（-x）=0?f（-x）=-f（x）?f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1-x1x2

)，而x₁-x₂＜0，0＜x1x2＜1?

x1-x2

1-x1x2

＜0?f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0．即当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递减．

点评：本题主要考查了函数的单调性的判定与证明，以及函数奇偶性的判定，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质，属于基础题．